|
|
Главная — Обучение — Библиотека трейдера — Алмазов А. Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки —
Модель Бенуа Мандельброта
Модель Бенуа Мандельброта
Данную главу я хочу начать с цитаты небольшого абзаца из книги Бенуа Мандельброта «Фракталы, случай и финансы»:
«Экономист, желающий получить объективную количественную картину происходящего на рынке, с легкостью пренебрегает мелкими деталями журнальных графиков, представляющих изменение цен. Зачастую он спешит эти графики «пригладить», что бы разглядеть скрытую под внешней оболочкой реальность, которую он полагает наиболее существенной. Философы, как правило, любят поговорить о противоречии между «внешним видом» и «сутью вещей»; известно, что великий математик Лагранж настаивал на том, чтобы изгнать из механики все рисунки и чертежи, причем он не был не первым, не последним математиком иконоборцем. Я же, напротив испытываю глубокое почтение ко всему, что можно обнаружить при «поверхностном» наблюдении – при условии, разумеется, что это наблюдении достаточно продолжительно и беспристрастно.»
Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая уже стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Данная модель, которая получила название «Множество Мандельброта» положила начало к развитию фрактальной геометрии (рис. 17). Сам Мандельброт высказывал следующее о своем творении:
«В данном случае полезную метафору нам предоставляет живопись: в намерения художника – портретиста не входит «клонирование» природы, он лишь стремится передать некоторые существенные ее аспекты. Эта метафора, разумеется, неполна, однако она весьма точно определяет место и роль математических моделей реальности. Любопытно, что в живописи под моделью понимается не портрет, но субъект, изображенный на портрете. То есть укоренившееся в науке употребление термина «модель» и его художественное использование противоположны друг другу. Когда модель воспроизводится нарочито упрощенно, получается эскиз. (Это справедливо как для живописи, так и, например, для вышивки.) .... Я принадлежу не к тем ученым, кто стремится во что бы то ни стало выстроить законченную «теорию всего», но к тем, кто довольствуется получением длинной последовательности эскизов, с каждым разом все более и более реалистичных...»
Математическое описание модели следующее: на комплексной плоскости в некоем интервале для каждой точки с вычисляется рекурсивная функция Z=Z2+c. Казалось бы, что такого особенного в этой функции? Но после N повторений данной процедуры вычисления координат точек, на комплексной плоскости появляется удивительно красивая фигура, чем-то напоминающая грушу.
В модели Мандельброта изменяющимся фактором является начальная точка с, а параметр z, является зависимым. Поэтому для построения фрактала Мандельброта существует правило: начальное значение z равно нулю (z=0)! Это ограничение вводится для того, чтобы первая производная от функции z в начальной точке была равна нулю. А это означает, что в начальной точке функция имеет минимум, и в дальнейшем она будет принимать только большие значения.
Хочу заметить, что если рекурсивная формула фрактала имеет другой вид, то тогда следует выбирать другое значение начальной точки для параметра Z. Например, если формула имеет вид z=z2+z+c, то начальная точка будет равна: 2*z+1=0. z = -1/2.
Вам уже известна математическая модель фрактала Мандельброта. Теперь давайте рассмотрим, как она реализуется графически. Начальная точка модели равна нулю. Графически она соответствует центру тела "груши". Через N шагов заполнятся все тело груши и в том месте, где закончилась последняя итерация (повторение), начинает образовываться «голова» фрактала. «Голова» фрактала будет ровно в четыре раза меньше тела, так как его математическая формула представляет собою квадратный полином. Затем опять через N итераций у «тела» начинает образовываться «почка» (справа и слева от «тела»). И так далее. Чем больше задано число итераций N, тем более детальным получится изображение фрактала, тем больше будет у него различных отростков. Схематическое изображение стадий роста фрактала Мандельброта представлено на рис. 18:
Из рисунка 19 видно, что каждое последующее образование на «теле» точно повторяет в своем строении само тело. Это и есть отличительная черта того, что данная модель является фракталом.
На следующих рисунках показано, как будет изменяться положение точки, соответствующей параметру z, при различном начальном положении точки с.
Из рисунков А – Д хорошо видно, как с каждым шагом все более усложняется структура фрактала и у параметра z все более сложная траектория.
Ограничения на модель Мандельброта: существует доказательство, что в модели Мандельброта |z|<=2 и |с|<=2.
|
|
