Модель Мандельброта и биржевые цены

Казалось бы, что может быть общего между графическим изображением множества Мандельброта и хаотическими изменениями цены на финансовых рынках. Однако, как мы сейчас с вами увидим, у них есть очень много общего.

На рис. 20(А) представлено множество Мандельброта, а на рис. 20 (Б) котировки валютных пар Евро/Доллар и Доллар/Франк. Можно заметить, что даже визуально цены напоминают нам фигуру, искусственно воспроизведенную Бенуа Мандельбротом, но возможно это только совпадение и ничего более. Однако, они не только похожи графически, но и обладают похожими свойствами.

Свойства модели Мандельброта

Модель Мандельброта обладает характерными свойствами, которые помогут нам понять, каким образом может изменяться поведение цены на рынке.

Самоподобие, пожалуй, одно из самых важных свойств данной модели. На рисунках пошагово показано, что каждый элемент данной модели подобен целому.

Хорошо видно, что данная модель состоит из таких же подобных ей. А как же дело обстоит на рынке? Это показано на рис. 22.

Здесь я взял рисунок А и увеличил его фрагменты, в итоге получилось то, что вы видите на рисунках Б и В.

В рассматриваем примере цена очень напоминает модель Мандельброта, но мы не должны вдаваться в заблуждение о том что они похожи. В данном случае мы применяем множество Мандельброта для того, чтобы охарактеризовать свойства фракталов, характерные для поведения цены на валютном рынке. Однако схожесть данных моделей, остается все же интересным и весьма спорным.

Следующим свойством, которым обладает наша модель, это ее размерность (детализация).

Видно, что на первом рисунке модель очень детализирована и прорисована, тогда как на последующих 2-х она уже менее выражена. Как мы это можем применить относительно рынка, демонстрирует рисунок 24:

Из данных рисунков можно увидеть, что недельный масштаб цен обладает наиболее детализованными данными, что делает его структуру более четкой, относительно минутных графиков, которые представлены на последующих двух рисунках. Можно сделать вывод: что чем больше масштаб мы используем, тем более четко будет просматриваться модель.

Мандельброт утверждал, что если мы возьмем и сопоставим два разных масштаба, например минутный и недельный, то просто не сможем отличить, где недельный график цен, а где минутный. Однако разница все же есть. Это происходит из-за масштаба, в котором отображаются котировки, а также из-за скорости изменения котировок, свойственных каждой валютной паре. Хорошо известно, что на минутном масштабе очень часто возникают разрывы и скачки цен, свечи на данном масштабе также имеют характерные цены открытия относительно их цен закрытия, что выражается в значительном расстоянии их друг от друга, либо в выстраивание в линию (см. рис. 25). Так же, если присмотреться, из-за того, что цена на данном масштабе колеблется около минуты, у многих свечей просто-напросто нет теней, что тоже влияет на восприятие данного графика.

Характерным свойством множества Мандельброта является его нерегулярность. Модель Мандельброта случайным образом выбирает НАПРАВЛЕНИЕ дальнейшего пути развития, которое выглядит как разделение траекторий (см. рис26). Обычно эту точку называют, точкой бифуркации.

Под бифуркациями понимается краткий момент неустойчивости, балансирование рынка на острие выбора между будущими курсовыми целями, когда судьба изучаемой валютной пары может зависеть от зарождения одной случайной флуктуации.

Флуктуациями называют единичные незначительные процессы, которые время от времени самопроизвольно происходят на рынке. Один из таких процессов показан на рис. 27. О чем нам это может сказать относительно рынка? Все дело в том, что рынок по своей сущности представляет нелинейную систему. Как было описано выше, нелинейность подразумевает несколько вариантов (решений) поставленной задачи. Однако хочу заметить, что являясь нелинейным, валютный рынок, как и множество Мандельброта обладает свойством самоподобия и другими свойствами присущих фракталам, что делает его предсказуемым и прогнозируемым на достаточно продолжительные промежутки времени. Все зависит от того, какой масштаб мы используем для прогноза. Точка бифуркации возникает по завершению одного цикла и начало другого (рис. 28). В рассматриваемом нами броуновском движение мы уже знаем, что предсказать положение частицы за определенный промежуток времени не возможно, однако когда эта самая частица достигает будущего своего положения, она образует структуру, которая будет подобна, той, которая образована частицей в другом промежутке времени. (см. курс 2, раздел «броуновское движение»).

Мы подошли к самому удивительному свойству множества Мандельброта, а именно к бесконечной дисперсии.

Дисперсия – в теории вероятностей – наиболее употребительная мера отклонения от среднего (мера рассеяния).

В множестве Мандельброта данное свойство прослеживается в том, что если мы будем брать отдельный фрагмент модели и увеличивать его, то в результате получим исходник, с которого можем опять увеличивать и увеличивать до бесконечности.

Если мы увеличим каждый «сектор» выделенный на рис. 29 (А), то получим то, что изображено на рис. 29 (Б), т.е. еще несколько таких «секторов», которые тоже можно увеличить и т.д.

На рынке данное свойство прослеживается в изменении масштаба. Однако поскольку количество масштабов у нас ограниченно, т.е. мы не располагаем например 45, 30, 15, 10 секундными масштабами и т.д., то не всегда есть возможность увеличить и рассмотреть модель более подробно. На секундном масштабе цен, который называется тиковым, вполне можно увидеть, как за несколько минут образуется целая модель!

Не путайте данное свойство с самоподобием модели, которое показывает их схожесть, в отличие от дисперсии, которая показывает глубину выбираемого масштаба.

Содержание

Далее