Золотое сечение и множество Мандельброта

Золотое сечение имеет большое значение для нашего восприятия мира, так как по предположению большинства ученых все в мире основано по принципу золотого сечения. Это число входит в тройку самых известных иррациональных чисел, т.е. таких чисел, десятичные представления которых бесконечны и не периодичны. Два других – это отношение длины окружности к диаметру (Пи) и основание натуральных логарифмов (е).

Золотое сечение можно встретить в повседневной жизни повсюду. Например, в древней Греции его использовали для возведения архитектурных сооружений, золотое сечение присутствует в строение человека, в искусстве, музыке и даже в строении галактики (рис. 1).

Золотое сечение можно представить в виде отрезка, разделенного на два более мелких, таким образом, что длина одного (в данном случаи отрезка А) равнялась 0,382, а длина другого (отрезка В), была равна 0,618. (рис. 2)

Так, хаусдорфова размерность знаменитого канторового множества выражается в конечном виде числом: ln²/ln³ ≈ 0,618. (рис. 3)

Золотое сечение φ определяется выражением:

Если мы рассмотрим отношение А к В, где А это меньшая длина отрезка по отношению к В (рис. 2), то получим обычное квадратное уравнение:

х² – х – 1 = 0

Данное выражение имеет два корня:

Обычно рассматривают только положительный корень x₁, дающий простое и наглядное деление отрезка в заданной пропорции. Действительно, если принять целый отрезок за единицу, то, используя значение этого корня x₁, получим а ≈ 0,382, b ≈ 0,618.

Именно положительный корень x₁ уравнения наиболее часто называют золотой пропорцией или пропорцией золотого сечения. Соответствующее геометрическое деление отрезка называют золотым сечением.

Это выражение представляет собой результат решения задачи о делении целого на две неравные части так, чтобы отношение меньшей части (А) к большей (В) равнялось бы отношению большей части к целому. Действительно, соответствующая данной задаче пропорция

удовлетворяется при выполнении условия

Из определения золотого сечения (1) – (4) следует, что оно, в сущности, является двойственным объектом. Действительно, золотое сечение фактически порождается вышеупомянутой задачей о делении целого, которое представляет собой типичный пример двойственной системы, поскольку состоит из двух частей (А и В), которые, во-первых, не равны друг другу (так как А < В), во-вторых, неразрывно связаны друг с другом (как составные части целого и посредством соотношения (3)), в-третьих, взаимно дополняют друг друга (до целого, которое равно их сумме А + В) и, в-четвертых, определяют друг друга (благодаря выражению (4), позволяющему находить значение одной из величин А и В при известной другой).

С золотым сечением тесно связан числовой ряд Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., задаваемый рекуррентным соотношением Z(n) = Z(n – 1) + z(n – 2).

Можно показать, что золотое сечение φ является пределом ряда

составленного из отношений соседних чисел ряда Фибоначчи, т.е.

В золотом сечении есть фигура, которая называется «Золотым прямоугольником» (рис. 4). Она обладает многими необычными свойствами, которые уже знакомы нам, когда мы описывали свойства множества Мандельброта. Отрезав от "золотого" прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, "в остатке" мы снова получим "золотой" прямоугольник меньших размеров. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие "золотые" прямоугольники. Причем, располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей большое значение в математических моделях природных объектов (например: в завихрениях торнадо, строении ракушки и даже галактики.

Полюс спирали лежит на пересечении диагоналей начального прямоугольника BD и первого отрезаемого вертикального АС. Причем диагонали всех последующих уменьшающихся "золотых" прямоугольников лежат на этих диагоналях.

Эта логарифмическая спираль является прототипом фундаментального фрактала. В любом масштабе он подобен самому себе и остается инвариантным при большинстве геометрических преобразований.

На рис. 5 изображен элемент, из которого выстраивается «Золотой прямоугольник».

Существование золотых спиралей в юлианских циклах указывает на взаимосвязь между циклами, числом пять, золотым сечением и логарифмической спиралью. И если мы желаем глубоко проникнуть в суть циклов, то следует учитывать эти фундаментальные элементы и их соотношения. Циклы часто обладают внутренней структурой, которая заметно отличается от стандартного набора, включающего соединение, оппозицию и квадратуры.

Для нас сейчас важно понять, что спираль тесна связана с циклами и что данное свойство находит свое отображение в множестве Мандельброта (рис. 6). Для более подробного изучения взаимосвязи между циклом и фракталом мы обратимся к главе «Циклы и показатель Херста», а сейчас давайте рассмотрим, как выражается золотое сечение в модели Мандельброта.

Данный вопрос очень хорошо описывают два российских ученых: Щипицын Е.В. и Попков В.В. В своем труде золотое сечение в теории фракталов они показали, как связано данное явление с множеством Мандельброта. В своем курсе я хочу привести отрывок текста из их труда «Двойственность золотого сечения в теории фракталов и хаоса», который содержит в себе достаточно интересную информацию.

На рис. 7 изображено множество Мандельброта для квадратичной функции f(x) = x² + c на плоскости комплексных значений параметра c (c = Re c + i Im c, где i = √–1 – мнимая единица, а Re c и Im c – соответственно действительная и мнимая части числа c).

Односторонние стрелки с цифрами показывают периоды притягивающих орбит в различных областях множества Мандельброта. Двухсторонние стрелки обозначают характерные размеры множества Мандельброта, связанные с золотым сечением и числами Фибоначчи:

Здесь введены следующие обозначения:

Давайте теперь рассмотрим поведение рыночных цен в пропорциях золотого сечения. Большинство аналитиков финансового рынка в качестве инструмента для определения пропорций золотого сечения применяют шкалу Фибоначчи. Под последовательностью Фибоначчи понимают ряд чисел выстроенных в следующем порядке: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584

Основное свойство последовательности Фибоначчи – каждое число есть сумма двух предыдущих. Если обозначить n-й элемент этой последовательности Fn, то:

F₁ = 1; F₂ = 1
F_n+2=F_n+F_n+1; n=1, 2, 3, ...

Если взять соотношение соседних чисел Фибоначчи, то в результате получим:

F₃/F₂=2, F₄/F₃=1,5;
F₅/F₄=5/3=1,666; F₆/F₅=8/5=1,6

Для всех этих отношений характерно то, что в своем пределе они стремятся к числовому значению 1.618!

На Форекс мы можем применять данное значение для прогноза цен, используя числовую шкалу Фибоначчи (рис. 8).

Шкала состоит из следующих уровней: 0.0; 23.6; 38.2; 50.0; 61.8; 100.0; 161.8; 261.8; 423.6. Основное предназначение данного инструмента измерить уровень отката от предыдущей волны.

Еще Чарльз Доу заметил, что типовыми являются откаты на 50%, 33% и 66%. Если тенденция сильна, то вероятная величина отката, как считал Доу, составит 33%. Обычная коррекция имеет место до величины 50%. А если коррекция составила 66% или более, то это верный сигнал о возможном переломе тенденции. Уровни, предложенные Ганном, а именно: 38%, 50%, 62%, наиболее совпадают с действительностью на финансовых рынках.

Однако мы вовсе не будем применять классические методы применения шкалы Фибоначчи. Для тех, кто интересуется данной теорией в ее стандартном понимании, советую прочитать замечательную книгу Роберта Фишера «Последовательность Фибоначчи».

Для нас, теперь числа Фибоначчи приобретут иной смысл, а правильнее было бы сказать их применение к рыночным данным будет отличаться от действующего.

Начнем с того, что помимо стандартных уровней у нас появятся еще несколько новых и не менее, а может даже, и где-то более важных в своем применении. Мы будем применять следующий список уровней: 38.2; 61.8; 76.4; 100; 161.8; 176.4; 208.0; 261.8; 276.4; 300.0 и 423.6.

Несмотря на столь длинный список, мы быстро разберемся, как применяются данные уровни, и сможем реализовать их в своей торговле.

Сейчас, давайте рассмотрим, как можно представить цикл на рынке Форекс в пропорциях золотого сечения. В этом нам поможет рис. 7, на котором представлено уже нам знакомое множество Мандельброта. На рис. 9 представлен цикл по паре Доллар/Франк с разметкой, показывающей пропорции золотого сечения.

На рис. 9 мы видим соотношения отрезков с величинами 0.618 и 0.382. Величины X1 и Х2 представляют собой значения, рассматриваемые в множестве Мандельброта изображенного на рис. 7. L1 и L2 были разделены на 2, т.к. мы рассмотрели только одну часть цикла. Зеркальная часть цикла, представляет собой ни что иное, как имитацию, для наиболее полного сопоставления модели с множеством Мандельброта. На данном рисунке мы видим факт присутствия пропорции золотого сечения в циклах на валютном рынке.

Однако если все так просто, то почему большинство трейдеров не могут воспользоваться данными уровнями с целью успешной торговли? Ответ очень прост: они не знают, как выглядит цикл, его начальных условий, от которых и происходят все измерения. Знай мы начальные условия, т.е. начало подъема, в случае если цикл восходящий или начало спуска, в случае если цикл нисходящий, мы бы с точностью смогли определить ключевые точки разворота движений внутри данного цикла.

Но все не так просто, поскольку валютный рынок представляет из себя нелинейную систему данных, в связи с чем, у него возможно несколько вариантов развития. Поэтому очень важно знать не только соотношение Фибоначи к той или иной волне, но и варианты отмены данных уровней!

Также мы рассмотрим несколько вариантов применения шкалы Фибоначчи к различным валютным циклам.

Для того, чтобы более гибко применить золотое сечение к прогнозированию цен, мы должны воспользоваться шкалой Фибоначчи, которая есть в любом торговом терминале. На рис. 10 показано, в каких точках происходит разворот, либо продолжение цикла.

Комментарии к рисунку:

Овалами показаны наиболее ключевые точки для разворота. Красными точками показаны важнейшие этапы развития цикла. Маленькими квадратами выделена первая волна цикла, откуда и делаются замеры. Большим прямоугольником показано ключевое развитие ситуации, которое может привести к отмене либо к продолжению цикла. Пунктирная линия, соединяющая 2 точки, показывает возможную будущую крутизну наклона развивающегося цикла, в дальнейшем мы будем называть ее переходной волной.

Уровень east – 208.0. Обычно завершает цикл. За данный уровень могут быть незначительные выходы цен. Но мы должны понимать, что когда цена вышла за данный уровень, нам нужно дождаться определенных сигналов, подтверждающих дальнейшее продолжение основного направления цикла.

Уровень south – 176.4. Завершает развитие самой длинной и импульсивной волны. В стандартной ситуации подразумевается, что данная волна заканчивается на уровне 161.8, однако, как показывает действительность, более точным является именно уровень 176.4. Но даже иногда и за его пределы выходит цена, что может сказать о скором развороте цен. Также в диапазоне между 168.1 и south характерны корректировочные движения цен.

Уровень Limited – 1.382. Поможет нам сориентироваться в случае, когда цикл идет в горизонтальном направлении (рис. 11).

Уровни 100 и 76.4 являются решающими уровнями для продолжения либо отмены цикла. Как правило, все важные развороты происходят от уровня 76.4, вы можете проверить это самостоятельно на истории валютных пар, добавив этот уровень в стандартный набор Фибоначчи. Уровень 100 представляет собой переходной уровень к новому состоянию цикла. Его пробитие дает решающий сигнал для осуществления сделок в сторону продолжения тренда.

Уровни 50 и 38.2 для нас существенной роли не представляют, однако учитывать их все же стоит, поскольку они являются важными значениями в шкале Фибоначчи. Их пробитие, как правило, сопровождается достаточно интенсивными движениями, будь то откат от восходящей волны или восходящая (нисходящая) тенденция, пробивающая себе новые ценовые горизонты.

Комментарии к рисунку:

Красными точками показаны ключевые моменты в развитии цикла. Обратите внимание, что цикл располагается горизонтально, в отличии от обычного восходящего цикла, который идет под определенным углом (рис. 12). В данном случае уровень limited, определяет максимальное значение цикла. Но как определить каким образом будет развиваться цикл: горизонтально или под углом? Ответ прост: обратите внимание на точки 1 и 2, если они располагаются относительно друг друга в горизонтальном положении, то, есть очень высокая вероятность того, что направление цикла будет горизонтальным, если точки находятся под углом, то и цикл соответственно будет развиваться достаточно интенсивно и под определенным углом.

Обратите внимание на циклы изображенные на рис. 11 и рис. 12 они очень похожи между собой в структуре цен, однако располагаются по-разному.

Сейчас давайте рассмотрим на рис. 13 (А, Б, В, Г, Д), как ложится шкала фибо на большинство циклов, образовавшихся в результате котирования цен на валютном рынке.

Как видно из рисунков приведенных выше, уровень 1.618 не показывает точного разворота циклов, а вот уровни south и east вполне с этим справляются.

Нужно учитывать следующие характерные моменты:

Когда цена входит в коридор между уровнями 161.8 и south, вполне возможны коррекционные движения в данном диапазоне. Уровни south и east были введены только с целью более точной ориентации на рынке, однако для тех, кто хочет действовать наверняка, уровень 161.8 остается незаменимым компасом в ориентации движения цен.

На рынке Форекс не все циклы развиваются по примерам описанным выше. Есть циклы, которые уходят за уровень east и достигают либо уровня 261.8 north (А), либо 423.6(Б) (рис. 14).

Как правило, такое развитие циклов встречается очень часто на минутных масштабах. Для нас важно понять, что если уровень east будет пробит и цена не вернется в коридор south – 161.8, то дальнейшее развитие цикла будет сначала до уровня 261.8 (north), а затем, после его пробития до 423.6, далее этого уровня развитие циклов не наблюдается. Если цена достигла уровня 423.6, то мы будем наблюдать нисходящее движение от данного уровня, либо плоскую коррекцию с началом нового цикла.

Для того чтобы более точно применить шкалу Фибоначчи к циклам мы должны знать и понимать их развитие. В следующих разделах нашего курса мы познакомимся со структурой циклов, а также изучим их характерные особенности.

Содержание

Далее